№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Разные задачи
1.

Найдите длину ребра правильной пятиугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно ребру основания, а сумма длин всех ребер равна 30.

1) 2
2) 3
3) 5
4) 6
5) 9
2.

В основании прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 лежит трапеция ABCD, у которой ∠C = 90°, BC и AD — основания, BC = CC1. Плоскость, которая проходит через ребро DC и вершину A1 призмы, образует угол с плоскостью основания (см. рис.) и отсекает часть NC1CA1D1D. Если объем призмы равен 48, то объем оставшейся части равен … .

3.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 10. Площадь его боковой поверхности равна:

1)
2)
3)
4)
5)
4.

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной и углом BAD, равным . Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол . Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R2.

5.

Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а площадь диагонального сечения равна 12, то ее объем равен ...

6.

Прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и , вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения , где — объём фигуры вращения.

7.

Пусть O и O1 — центры оснований цилиндра, изображенного на рисунке. Тогда образующей цилиндра является отрезок:

1) DB
2) DC
3) DO1
4) OO1
5) AD
8.

Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой 9, отлили треть (по объему) жидкости. Вычислите , где h — высота оставшейся жидкости.

1) 324
2) 182
3) 27
4) 243
5) 81
9.

Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с ее высотой, равной угол 30°. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения .

10.

Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 1728. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём меньшей из частей.

11.

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной и углом BAD, равным . Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол . Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R2.

12.

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной и углом BAD, равным . Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол . Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R2.

13.

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной и углом BAD, равным . Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол . Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R2.

14.

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной и углом BAD, равным . Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол . Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R2.

15.

Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а площадь диагонального сечения равна 6, то ее объем равен ...

16.

Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и , вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения , где — объём фигуры вращения.

17.

Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, а площадь диагонального сечения равна 9, то ее объем равен ...

18.

Прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и , вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения , где — объём фигуры вращения.

19.

Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, а площадь диагонального сечения равна 9, то ее объем равен ...

20.

Прямоугольный треугольник с катетами, равными и , вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения , где — объём фигуры вращения.

21.

Если в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, а площадь диагонального сечения равна 12, то ее объем равен ...

22.

Прямоугольный треугольник с катетами, равными и , вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения , где — объём фигуры вращения.

23.

Пусть O и O1 — центры оснований цилиндра, изображенного на рисунке. Тогда образующей цилиндра является отрезок:

1) AB
2) AC
3) AD
4) AO
5) OO1
24.

Пусть O и O1 — центры оснований цилиндра, изображенного на рисунке. Тогда образующей цилиндра является отрезок:

1) BO
2) BC
3) BA
4) BD
5) OO1
25.

Пусть O и O1 — центры оснований цилиндра, изображенного на рисунке. Тогда образующей цилиндра является отрезок:

1) LN
2) LO
3) OO1
4) LP
5) LM
26.

Пусть O и O1 — центры оснований цилиндра, изображенного на рисунке. Тогда образующей цилиндра является отрезок:

1) OO1
2) LO
3) MN
4) LM
5) LN
27.

Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой 10, отлили пятую часть (по объему) жидкости. Вычислите где h — высота оставшейся жидкости.

1) 125
2) 250
3) 300
4) 100
5) 200
28.

Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с ее высотой, равной угол 30°. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения .

29.

Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой 15, отлили треть (по объему) жидкости. Вычислите , где h — высота оставшейся жидкости.

1) 125
2) 375
3) 750
4) 1500
5) 1125
30.

Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с ее высотой, равной угол 30°. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения .

31.

Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой 15, отлили пятую (по объему) жидкости. Вычислите , где h — высота оставшейся жидкости.

1) 650
2) 675
3) 550
4) 700
5) 600
32.

Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с ее высотой, равной угол 30°. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения .

33.

Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой 12, отлили треть (по объему) жидкости. Вычислите , где h — высота оставшейся жидкости.

1) 192
2) 384
3) 768
4) 640
5) 576
34.

Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды образует с ее высотой, равной угол 30°. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения .

35.

Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 1728. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём большей из частей.

36.

Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 432. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём меньшей из частей.

37.

Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 864. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём большей из частей.

38.

Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 2160. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём меньшей из частей.

39.

Укажите номера прямоугольников, изображенных на рисунках 1−5, при вращении которых вокруг стороны AD получается цилиндр, осевым сечением которого является квадрат.

1) 2, 3
2) 1, 5
3) 3, 5
4) 2, 4
5) 1, 3, 5
40.

ABCDA1B1C1D1 — куб. Точки M и N — середины ребер AD и DC соответственно, (см. рис.). Сечением куба плоскостью, проходящей через точки M, N и K, является:

1) восьмиугольник
2) треугольник
3) четырехугольник
4) пятиугольник
5) шестиугольник
41.

ABCDA1B1C1D1 — прямая четырехугольная призма, объем которой равен 960. Основанием призмы является параллелограмм ABCD. Точки M и N принадлежат ребрам A1D1 и С1В1, так что A1M : A1D1 = 1 : 2, D1N : NC1 = 2 : 1. Отрезки A1N и B1M пересекаются в точке K. Найдите объем пирамиды SB1KNC1, если и B1S : SD = 3 : 1.

42.

Укажите номера прямоугольников, изображенных на рисунках 1−5, при вращении которых вокруг стороны BC получается цилиндр, осевым сечением которого является квадрат.

1) 1, 2
2) 1, 3
3) 1, 2, 3
4) 3, 5
5) 4, 5
43.

ABCDA1B1C1D1 — куб. Точки M и N — середины ребер B1C1 и CC1 соответственно, (см. рис.). Сечением куба плоскостью, проходящей через точки M, N и K, является:

1) треугольник
2) четырехугольник
3) пятиугольник
4) шестиугольник
5) восьмиугольник
44.

ABCDA1B1C1D1 — прямая четырехугольная призма, объем которой равен 672. Основанием призмы является параллелограмм ABCD. Точки M и N принадлежат ребрам A1D1 и С1D1, так что A1M : MD1 = 2 : 1, D1N : NC1 = 1 : 3. Отрезки A1N и B1M пересекаются в точке K. Найдите объем пирамиды SB1KNC1, если и B1S : SD = 3 : 1.

45.

Укажите номера прямоугольников, изображенных на рисунках 1−5, при вращении которых вокруг стороны AB получается цилиндр, осевым сечением которого является квадрат.

1) 3, 4
2) 1, 5
3) 2, 5
4) 1, 4
5) 1, 3, 4
46.

ABCDA1B1C1D1 — куб. Точки M и N — середины ребер AB и AD соответственно, (см. рис.). Сечением куба плоскостью, проходящей через точки M, N и K, является:

1) треугольник
2) четырехугольник
3) пятиугольник
4) шестиугольник
5) восьмиугольник
47.

ABCDA1B1C1D1 — прямая четырехугольная призма, объем которой равен 720. Основанием призмы является параллелограмм ABCD. Точки M и N принадлежат ребрам A1D1 и С1D1, так что A1M : MD1 = 1 : 2, D1N : NC1 = 1 : 2. Отрезки A1N и B1M пересекаются в точке K. Найдите объем пирамиды SB1KNC1, если и B1S : SD = 3 : 1.

48.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна и его объем равен Найдите высоту цилиндра.

1) 3
2) 3,5
3) 7
4) 14
5) 28
49.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна а его объем равен Найдите высоту цилиндра.

1) 2
2) 4
3) 8
4) 16
5) 24
50.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна а его объем равен Найдите высоту цилиндра.

1) 2
2) 4
3) 8
4) 16
5) 24
51.

Секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен 2. Если расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4, то площадь сферы равна:

1)
2)
3)
4)
5)
52.

Прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 10, высота, проведенная к ней равна 3, вращается вокруг прямой, перпендикулярной гипотенузе и проходящей в плоскости треугольника через вершину большего острого угла. Найдите объем V тела вращения и в ответ запишите значение выражение деленное на .

53.

Секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен 3. Если расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 6, то площадь сферы равна:

1)
2)
3)
4)
5)
54.

Прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 5, высота, проведенная к ней равна 2, вращается вокруг прямой, перпендикулярной гипотенузе и проходящей в плоскости треугольника через вершину большего острого угла. Найдите объем V тела вращения и в ответ запишите значение выражение деленное на .