Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка A движется по периметру треугольника KMP. Точки K1, M1, P1 лежат на медианах треугольника KMP и делят их в отношении 6 : 1, считая от вершин. По периметру треугольника K1M1P1 движется точка B со скоростью, в четыре раза большей, чем скорость точки A. Сколько раз точка B обойдет по периметру треугольник K1M1P1 за то время, за которое точка A пять раз обойдет по периметру треугольник KMP?
Решение.
Заметим, что 
Таким образом, 
и 
Треугольники OM1P1 и OPM подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Аналогично, треугольники OM1K1 и OMK подобны, а также подобны треугольники OP1K1 и OPK.
Поскольку 
и треугольники M1K1P1 и MKP подобны, получаем 
Тогда 
Тогда точка B обойдет периметр 70 раз.
Ответ: 70.